UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
PROYECTO CURRICULAR LEBEM
ANTEPROYECTO DE GRADO
DIRECTOR JAIME FONSECA
YURY JOHANNA DÍAZ G. 20071145050
ALEJANDRO SANTOS 20071145039
ANÁLISIS DESCRIPTIVO SOBRE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN TORNO A LAS PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS DEL PLANO POR EJES CURVOS: UN ESTUDIO DE CASO
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
Se presenta una necesidad, una carencia en el estudio de las transformaciones geométricas del plano por ejes curvos; esta necesidad que se evidencia en la profesión docente en cuanto a: análisis del aprendizaje de procesos de enseñanza y el quehacer matemático; puesto que al no tener un conocimiento formal de este objeto matemático se torna difícil realizar procesos de enseñanza adecuados en las aulas de clases; así mismo el quehacer matemático queda relegado a un saber no formal, un saber no estructurado.
En la Educación Media, desde la experiencia como estudiantes, se evidencia que hay vacíos conceptuales sobre el estudio de secciones cónicas, pues este fue abordado desde el estudio de las parábolas, desde una representación grafica de un polinomio de grado dos.
Así mismo, en el proyecto curricular LEBEM no se ha realizado un estudio formal de las propiedades de las transformaciones geométricas del plano y a pesar que se realiza un estudio profundo sobre la parábola y la circunferencia, estos no están basados en el análisis formal desde las secciones cónicas.
Se observa una ausencia de conocimiento sobre este objeto matemático, tanto en la Educación Media como en el proyecto curricular LEBEM, y desde los antecedentes se evidencia que no hay un estudio sobre las propiedades de reflexiones por curvas cónicas, por esta razón es una prioridad realizar estudios sobre este objeto matemático y más aún enfocado desde la resolución de problemas, puesto que desde los estándares curriculares y de evaluación del N.C.T.M se plantea que el objetivo fundamental de la enseñanza de matemáticas no debería ser otro que el de la resolución de problemas, que relaciona el uso de habilidades con las estrategias que le permitan al resolutor trabajar eficientemente con diversos recursos en varias situaciones.
El trabajo tiene como pretensión indagar desde la Educación Matemática sobre el análisis de la resolución del problema con el fin de evidenciar las estrategias, representaciones, acciones, conjeturas, demostraciones, entre otros aspectos vinculados al proceso, por lo cual el proyecto de grado es una monografía de tipo II en la clasificación enunciada en el documento de trabajos de grado de la LEBEM: “Análisis descriptivo sobre la experiencia de resolución de problemas matemáticos” específicamente, en torno a las propiedades de las transformaciones geométricas del plano por curvas cónicas: un estudio de caso.
Este trabajo tiene dos ámbitos: desde la Educación Matemática realizar una reflexión del proceso de resolución de problemas (metacognición), y por otra parte se intentará resolver un problema de la geometría analítica como conocimiento matemático del profesor para establecer las propiedades de las transformaciones geométricas del plano por ejes curvos.
ANTECEDENTES:
Evidenciamos que se han realizado dos monografías en el proyecto curricular LEBEM y que se encuentran otras en desarrollo:
En Gómez (2009) en su monografía denominada El Proceso de Elaboración de Significados en la Definición de Espacio Topológico: Un Estudio de Caso, reflexiona y analiza si la propuesta de Mason (1989), puede ser utilizada como forma de sistematización del proceso metacognitivo de elaboración de significados de la definición de espacio topológico y en la acepción de problemas de pensamiento matemático avanzado.
Esta monografía es el primer trabajo de una serie de trabajos de grado en la implementación de la línea de investigación de la transición del pensamiento matemático elemental al pensamiento matemático avanzado del grupo de investigación de Matemáticas Escolares de la Universidad Distrital (MESCUD). El trabajo tuvo un carácter naturalista, exploratorio, teórico y empírico (Puig, 1996) en el que se analiza un ejercicio de metacognición identificando tres categorías: El conocimiento acerca del proceso, el control y la autorregulación y por último las creencias e intuiciones. Con estos aspectos se realiza la descripción de la experiencia del resolutor de problemas de matemáticas avanzadas.
El resultado obtenido de esta investigación se enfoca a la elaboración de significados que se logró después del ejercicio de metacognición y el sentido que adquirió la definición de espacio topológico; además al problematizar el estudio de una definición matemática, el proceso de resolución del problema corresponde también a la solución del mismo; de este modo, el trabajo constituye un antecedente importante que deja un campo abierto para futuros investigadores interesados en realizar en análisis sobre procesos relacionados en la resolución de problemas y más concretamente en los procesos de metacognición.
Ariza, Chiquillo y Posada (2010) en su monografía denominada La Conjeturación en Resolución de Problemas desde una Perspectiva Sociocultural, Dentro del Contexto de Pensamiento Matemático Avanzado: Un estudio de Caso, parten de la idea que el mundo físico, biológico, y sociológico se puede entender matemáticamente a través de la resolución de problemas, entendido como el conjunto de procesos y acciones mentales y manifiestas, que se presentan en un individuo, denominado resolutor, quien al estar frente a una situación la reconoce como problema, surgiendo en él un deseo por resolverlo (Puig, 1996), y que de esta manera se puede aprender matemáticas.
El objetivo principal es encontrar elementos y relaciones asociadas a la emergencia de conjeturas en resolución de problemas, en una comunidad de aprendizaje de estudiantes para profesor de matemáticas, además identificar elementos de la teoría sociocultural que intervienen en el proceso de conjeturación y su relación con la resolución de problemas. La metodología de apoyo para este trabajo se dio a través de cuatro fases adaptadas de la metodología de investigación en diseño de Collins (2004). Esta metodología es un caso particular de la Investigación Acción Participación, en donde interviene un equipo de investigadores para estudiar una situación (comunidad de aprendizaje).
Toman en cuenta a Mason (1989) para considerar las tres fases presentes en el proceso de resolución de problemas: abordaje, ataque y revisión, elementos que emergen del desarrollo del pensamiento matemático y que contribuyen al proceso del pensamiento y los estados emocionales del sujeto; dadas estas fases, se centran en el estudio del proceso de conjeturar presentes en la fase de ataque, entendiendo que “una conjetura es una afirmación que parece razonable, pero cuya veracidad no ha sido demostrada”.
Los resultados obtenidos dentro de la comunidad de aprendizaje, permitieron generar intuiciones anticipadas que fueron aceptadas por la comunidad y al interactuar con dichas intuiciones, éstas se transforman en afirmaciones o hipótesis, que llevadas a un lenguaje formal dieron paso al surgimiento inmediato de la conjetura.
Finalmente en Fonseca, Sánchez (2007) en su trabajo de investigación denominado, Uso de Algoritmos en la Resolución de Problemas Sobre Isometrías del Plano: Un Estudio de Caso, se pretende identificar la existencia de algoritmos en geometría y así mismo reivindicar su papel en la resolución de problemas de matemáticas; estableciendo relaciones entre la resolución de problemas y los algoritmos, para evidenciar maneras en que algunos profesores, profesores en formación y estudiantes con conocimientos básico en isometrías del plano, hacen uso de los algoritmos durante el proceso de resolución de problemas sobre el objeto matemático.
La propuesta de Gómez (2009) aporta a este trabajo de grado, un tipo de esquema sobre el análisis de la resolución de problemas a partir de la elaboración de significados de la definición de espacio topológico, lo cual, ofrece a este trabajo un panorama sobre diferentes autores que permiten obtener una base para la realización de estudios del proceso de metacognición entorno a la resolución de un problema matemático.
Los antecedentes con relación a la resolución de problemas evidencian que los dos trabajos de grado tienen como propuesta teórica fundamental a Mason, Burton y Stacey (1989) en su metodología de resolución de problemas, igualmente el método general de G. Polya (1986), donde propone reglas lógicas plausibles y generalizadas que guían la solución al problema.
JUSTIFICACIÓN
Teniendo en cuenta los requerimientos actuales del conocimiento profesional, como docente, en la cual se hace evidente el uso activo de la investigación en relación con las interpretaciones educativas dominantes como lo menciona Brown y Borko (1992), en los cuales se consideran tres tradiciones investigativas en formación de profesores de matemáticas: el campo de la psicología cognitiva, socialización del profesor y el desarrollo del profesor, donde el enfoque de resolución de problemas atiende a las tendencias curriculares más recientes para la enseñanza de las matemáticas, se ha insistido en la necesidad de situar en un primer plano las capacidades de “orden superior” es decir, las que están ligadas a la identificación y la resolución de problemas, al pensamiento crítico, y al uso de estrategias de naturaleza metacognitivo, (Giménez,1996).
Lo anterior toma sentido en el proceso de enseñanza matemática al atender a los requerimientos actuales de la educación, por tanto en los estándares curriculares y de evaluación del N.C.T.M. se plantea que el objetivo fundamental de la enseñanza de las matemáticas no debería ser otro que el de la resolución de problemas, que relaciona el uso de habilidades con las estrategias que le permitan al resolutor trabajar eficientemente con diversos recursos en varias situaciones (Santos, 1997).
El matemático español Santaló (Escudero,1985, citado en Fonseca, Sánchez 2004) señala que “enseñar matemáticas debe ser equivalente a aprender a enseñar a resolver problemas; Estudiar matemáticas no debe ser otra cosa que pensar en la solución de problemas”, igualmente Miguel de Guzmán (Guzmán,1984, citado en Escudero) considera que a los estudiantes se les debería proporcionar la posibilidad de construir hábitos de pensamiento que les permita enfrentarse a la resolución de problemas matemáticos y no matemáticos.
Se ha mencionado cómo desde los requerimientos profesionales y desde los estándares curriculares se hace necesario la resolución de problemas en la educación, es por esta razón que el proyecto Curricular de Licenciatura en Educación Básica con Énfasis en Matemáticas de la Universidad Distrital ha adoptado la resolución de problemas con el fin de formar docentes reflexivos y críticos en su profesión capaces de organizar una enseñanza que impulse tal desarrollo, por tanto creemos que es indispensable realizar este tipo de estudios en un pensamiento matemático avanzado con dos fines específicos para nosotros como futuros docentes, el primero crear antecedentes investigativos sobre resolución de problemas, y segundo, indagar sobre temas que resultan de interés en niveles de educación superior (análisis de transformaciones geométricas).
Por tanto el trabajo de grado se enfocará a la investigación sobre el análisis de transformaciones geométricas por ejes curvos, dando una primera mirada a los aspectos que se inscriben en el pensamiento matemático avanzado, teniendo como eje fundamental la resolución de problemas, éste será el objeto de estudio en la investigación desde el campo de la metacognición.
PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN
¿Cuáles son las características de las heurísticas que emplean los Estudiantes Para Matemáticas EPM en la elaboración de significados vinculados con las propiedades de las transformaciones geométricas del plano por curvas cónicas?
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Describir y analizar las características de las heurísticas asociadas al proceso de resolución de un problema vinculado con la elaboración de significados de las propiedades de las transformaciones de figuras geométricas por ejes como curvas cónicas en EPM.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Establecer un marco de referencia en torno a las heurísticas y el proceso de elaboración de significados que permita realizar un análisis del proceso de resolución del problema.
- Realizar una reflexión en torno a las heurísticas empleadas en el proceso de resolución de problemas de los EPM entorno a elaboración de significados de las propiedades de las transformaciones de figuras geométricas por ejes como curvas cónicas.
- Sistematizar la información obtenida del ejercicio de metacognición utilizando los aspectos y elementos que proponga el marco de referencia considerado.
REFERENTE TEÓRICO
Nuestro objeto de estudio, como se ha mencionado, está encaminado a realizar un análisis descriptivo desde lo metacognitivo sobre la experiencia de resolución de problemas matemáticos en torno a las propiedades de las transformaciones geométricas del plano por ejes curvos como curvas cónicas; Por esta razón iniciaremos presentando algunos modelos de resolución de problemas, que pueden orientar la caracterización de las heurísticas, como los son los trabajos propuestos por polya; Schoenfeld, Mason, Burton y Stacey, además de algunas definiciones de términos que se mencionan en este trabajo. Luego, se realizará una presentación sobre las secciones cónicas y las transformaciones geométricas, clasificándolas en Isométricas, Isomorficas y anamórficas.
ü G. Polya:
A partir de su libro “Cómo plantear y resolver problemas”, este autor propone cuatro fases que se consideran esenciales a la hora de resolver un problema, estas cuatro fases son:
• Aceptar y comprender las condiciones del problema.
• Planificar su solución.
• Llevar a cabo el plan planificado.
• Comprobar, verificar la solución.
Las investigaciones que se han hecho sobre resolución de problemas de alguna u otra manera recogen estas fases que propone Polya, se piensa que este modelo está dispuesto a ser enriquecido con nuevos elementos de nuevos modelos, sin perder su esencia, por tal motivo, este, será parte de este trabajo como una base de investigación sobre la resolución de problemas.
ü A.H. Schoenfeld:
El modelo de A.H. Schoenfeld que aparece en el libro “Mathematical Problem Solving” (1985), retoma algunas ideas de G. Polya, profundizando en el análisis de las heurísticas; a partir de los resultados que obtuvo Schoenfeld considera cuatro dimensiones en el proceso de resolución de problemas:
· Dominio de conocimientos y recursos: Expresados a través de lo que el sujeto conoce y la forma de aplicar experiencias y conocimientos ante situaciones de problemas.
· Estrategias cognoscitivas: Categoría que contempla el conjunto de estrategias generales que pueden resultar eficaces para acceder a la solución de un problema. Dentro de la misma se pueden identificar recursos heurísticos para abordar los problemas matemáticos tales como: analogía, inducción, generalización, entre otros.
· Estrategias meta cognitivas: Se caracteriza como la conciencia mental de las estrategias necesarias para resolver un problema, para planear, monitorear, regular o controlar el proceso mental de si mismo.
· Sistema de creencias: Esta conformado por las ideas, concepciones o patrones que se tienen en relación con la Matemática y la naturaleza de esta disciplina.
La profundización que realiza Schoenfeld a los procesos de resolución de problemas resultan importantes para este proyecto de grado, ya que este considera que tales procesos son mas complejos que lo que evidencia Polya e involucra más elementos, inclusive de carácter emocional-afectivo, psicológico, sociocultural, entre otros.
ü Mason, Burton y Stacey:
Este modelo de resolución de problemas que aparece en el libro “Pensar Matemáticamente” (1989), realiza un propuesta metodológica basada en la resolución de problemas, permitiendo el desarrollo del pensamiento matemático, este propone tres fases dentro de la resolución de un problema matemático, estas son: abordaje, ataque, revisión.
Tales fases permiten reconocer un cambio en el parecer del sujeto (resolutor) con respecto al problema, reconocer estas fases menciona el texto que permiten reconocer adecuadamente lo que se puede y se debe hacer en cada caso, además el reconocimiento y paso por cada fase permite al resolutor del problema pasar de la particularización a la generalización.
Esta teoría aporta a nuestro trabajo un modelo que analiza el pensamiento y la experiencia matemática en general, que engloba como un caso particular la resolución de problemas y que además muestra la influencia que tiene el desarrollo del razonamiento matemático en el conocimiento de nosotros mismos y del mundo que nos rodea.
Se pueden evidenciar dos aspectos claves que se exponen en esta teoría que resultan relevantes para esta trabajo, por un lado expone los procesos que rigen el pensamiento matemático en general, mostrando a su vez como acometer cualquier problema, es decir, como atacarlo de una manera eficaz y como ir aprendiendo de la experiencia, el segundo aporte lo realiza a categorizar los diferentes momentos que se hacen evidentes en la resolución de problemas, este último, será la base de la sistematización de los diferentes datos que se generen en el desarrollo del problema de investigación.
PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS DEL PLANO
El problema matemático de estudio será:
“las Propiedades de las transformaciones geométricas del plano por curvas cónicas”
Para lograr obtener una visión sobre nuestro objeto de estudio se empezará por estudiar las secciones cónicas, su definición y aparición en la historia, como segundo aspecto a estudiar será las transformaciones geométricas en el plano y por ultimo transformaciones por ejes curvos.
Historia de las secciones cónicas
Como primer objeto de estudio serán las secciones cónicas, estas aparecen en la historia a causa de uno de los tres problemas griegos, este fue llamado como “la duplicación del cubo o problema de Delos”. Menecmo fue el primero en hallar dichas curvas como secciones (las secciones en aquellos tiempos sólo se consideraban perpendiculares a la generatriz) de conos circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos (amblitoma).
Pero es Apolonio quien hace un estudio riguroso sobre estas secciones, al obtener todas las posibles curvas de las secciones de cono recto, variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono, las figuras que obtuvo Apolonio las denomino:
ü Ellipsis (deficiencia)
ü Hyperbola (avanzar más allá)
ü Parábola (colocar al lado o comparar)
Apolonia consideró tres tipos de curvas, mientras Kepler considero cinco, la hipérbola, parábola, elipse, circunferencia y la cónica, estas han sido estudiadas en nuestro tiempo como:
ü Hipérbola: Una hipérbola es el conjunto de puntos para los que la diferencia de sus distancias a dos puntos distintos prefijados (llamados focos) es constante.
La ecuación canónica de la hipérbola con centro en
Con eje transversal vertical es:
Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de unidades del centro. Además
ü Parábola: es el conjunto de puntos (llamado foco de la parábola) y de una recta fija (llamada la directriz de la parábola) que no contiene a (figura 1).
La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice y directriz es:
ü Elipse: Es el conjunto de puntos
La forma canónica de la ecuación de una elipse de centro y respectivamente, con , es
ü Circunferencia: es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio. Así que si es el radio, la circunferencia de centro denotado
La forma canoníca de la circunferencia es
ü Cónicas: Es el lugar geométrico de los puntos del plano (x,y) que satisfacen una ecuación completa de segundo grado de la forma:
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
o β < α : Hipérbola
o β = α : Parábola
o β > α : Elipse
Transformaciones geométricas en el plano
Transformación geométrica es una aplicación del plano en el plano tal que a cada punto de un plano le hace corresponder otro punto del mismo plano.Existen dos tipos de transformaciones geométricas, estas son:
ü Directa: cuando conservan el sentido en el plano orientado
ü Inversa: cuando los sentidos del original y homólogo son contrarios
Además existen tres clasificaciones en función de la figura homóloga respecto a la original
ü Isométricas: cuando conservan las dimensiones y ángulos. Las cuatro transformaciones rígidas son simetría, translación y el giro (incluye las reflexiones centrales) y los deslizamientos.
· La simetría es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano.
· Traslación: la traslación es un movimiento en el plano de tal forma que a cada punto de la figura le corresponde un vector de traslación, (una distancia, una dirección y un sentido de la traslación
· Giro: transformación isométrica en la que fijado un ángulo θ y un punto fijo o, se pasa un punto dado A y su homologo
ü Isomórficas: cuando conservan la forma de la figura original (los ángulos) existe proporcionalidad entre las dimensiones de la figura original.
ü Anamorficas: cuando cambia la forma de la figura original (inversión).
Las transformaciones geométricas que serán objeto de estudio en planos curvos como secciones cónicas harán parte del tipo de transformaciones anamórficas, ya que se presume que dadas las características de las curvas de las secciones cónicas, están generarán un cambio sustancial de las magnitudes, ángulos y forma de las figuras geométricas.
,
,
Este marco teórico será la base del proyecto de grado que se llevará a cabo según el cronograma de actividades expuesto en este anteproyecto, igualmente estará sometido a modificaciones según lo requiera las necesidades que se presenten por un lado, en la solución del problema de investigación, y por otro, el análisis del proceso de resolución del problema.
METODOLOGÍA
El trabajo de investigación a realizar será un estudio de caso, a partir de la descripción y el análisis del proceso de resolución de un problema en torno a propiedades de las transformaciones geométricas por ejes de curvas como curvas cónicas utilizando como herramienta un marco de referencia que permitan realizar un análisis del proceso .
El trabajo tendrá un carácter naturista, exploratorio, teórico y empírico; conceptos de los que habla Puig (1996). Primero será de tipo naturista porque el proceso de trabajo se desarrollará desde un proceso metacognitivo de parte de los dos participes de esta investigación. Tipo exploratorio porque se pondrá bajo observación los procesos de resolución del problema de investigación utilizando la sistematización de este proceso apoyado en marcos de referencia que permitan realizar un análisis minucioso acerca de este proceso. Teórico porque se realizará un estudio entorno al objeto de investigación acerca de las transformaciones de figuras geométricas con ejes por curvas cónicas y empírico ya que se hará un proceso directo de aprendizaje sobre los conceptos y los resultados que generé este estudio.
Siguiendo los objetivos de investigación se llevarán a cabo las siguientes fases:
- Fase I: Desarrollo de fundamentación teórica: Se realizará una revisión de la literatura sobre análisis de procesos de resolución de problemas y las teorías relacionadas con las transformaciones de figuras geométricas por ejes de curvas cónicas.
- Fase II: Diseño de instrumentos de recolección e información: Para dar cuenta del proceso metacognitivo que se llevará a cabo en nuestra investigación; se contarán con herramientas que permitan tal proceso, como lo es el cuaderno resolutor, medios tecnológicos, entre otros.
- Fase III: Resolución del problema matemático: En esta fase se atacará directamente nuestro problema matemático a resolver, buscando dar solución desde los elementos teóricos que creemos resulten útiles en nuestro proceso; además de las relaciones de éstos con los conocimientos previos y las conjeturas que estos puedan generar.
- Fase IV: Recolección de información: La recolección de la información se hará con ayuda de los diseños de instrumentos de recolección; al ser resolución de un problema esta recolección de información se dará de forma continua.
- Fase V: Organización y sistematización: Se considerará como instrumento de recolección de datos el cuaderno resolutor, teniendo en cuenta para su sistematización y análisis de los procesos que de generarán marcos de referencia que permitan realizar un análisis del proceso de resolución del problema.
- Fase VI: Análisis de los resultados: Los resultados del proceso será analizado desde la descripción de la resolución de problemas en torno a las propiedades de las transformaciones por curvas cónicas.
CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES (PERIODO AGOSTO 2010 – OCTUBRE 2011)
ACTIVIDADES | DIC. | ENE. | FEB. | MAR. | ABR. | MAY. | JUN. | JUL. | AG. | SEP. | OCT. | NOV. |
DESARROLLO DE FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA. | ||||||||||||
DISEÑO DE INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE INFORMACIÓN. | ||||||||||||
DESARROLLO DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA MATEMÁTICO. | ||||||||||||
RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓN. | ||||||||||||
ORGANIZACIÓN Y SISTEMATIZACIÓN. | ||||||||||||
ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS. |
BIBLIOGRAFÍA
· Ariza, Chiquillo y Posada (2010), La Conjeturación en Resolución de Problemas desde una Perspectiva Sociocultural, Dentro del Contexto de Pensamiento Matemático Avanzado: Un estudio de Caso.
· A.H. Schoenfeld (1985), Mathematical Problem Solving.
· Fonseca, Sánchez (2007), Uso de Algoritmos en la Resolución de Problemas Sobre Isometrías del Plano: Un Estudio de Caso.
· Giménez, (1996). Creencias y Concepciones de Futuros Profesores Sobre las Matemáticas, Su Enseñanza y Aprendizaje, Revista Uno, 8 (1), 103-107.
· Gómez (2009) El Proceso de Elaboración de Significados en la Definición de Espacio Topológico: Un Estudio de Caso.
· G. Polya, (1985) Como Plantear y Resolver Problemas.
· Mason, Burton y Stacey (1989) Pensar Matemáticamente.
